Théorème de Kronecker - Théorème de structure des groupes abéliens de type fini
Théorème préliminaire
Théorème : matrices équivalentes dans \(\mathcal M_{p,q}({\Bbb Z})\) :
Pour \(M\in\mathcal M_{p,q}({\Bbb Z})\), il existe \(P\in G\ell_p({\Bbb Z})\) et \(Q\in G\ell_q({\Bbb Z})\) tels que : $${{PMQ}}={{\begin{pmatrix} d_1&0&\dots&\dots&0&\dots&0\\ 0&d_2&&&\vdots&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&&\vdots&&\vdots\\ \vdots&&&d_n&\vdots&&\vdots\\ 0&\dots&\dots&\dots&0&&\vdots\\ \vdots&&&&&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&\dots&\dots&\dots&\dots&0\end{pmatrix}}}\quad\text{ avec }\quad {{ d_1|\dots|d_n\text{ invariants de }M}}$$
Théorème
Théorème de Kronecker :
soit \(G\) un groupe abélien de type fini
$$\Huge\iff$$
il existe \(d_1|\dots|d_n\in{\Bbb N}\setminus\{0,1\}\) et \(\ell\in{\Bbb N}\) tels que $$G\simeq{\Bbb Z}^\ell\times{\Bbb Z}/d_1{\Bbb Z}\times\dots\times{\Bbb Z}/d_n{\Bbb Z}$$
Corollaires
Corollaire du théorème de Kronecker :
Un sous-groupe de \({\Bbb Z}^r\) est isomorphe à \({\Bbb Z}^{r^\prime}\) avec \(r^\prime\leqslant r\)
Corrolaire :
Deux matrices \(A\) et \(A^\prime\) équivalentes dans \({\Bbb Z}\) définissent le même groupe
Corollaire :
Si \(G\) est abélien de type fini et sans torsion (\(G_\text{tors}=\{1\}\)), alors $$G\simeq{{{\Bbb Z}^{\operatorname{rg}(G/G_\text{tors})} }}$$
Donc \(G\) est libre en tant que \({\Bbb Z}\)-module
